El uso de las matemáticas para la formalización y el cálculo de ciertos aspectos de las composiciones fomenta la aparición y permanencia de dos tipos de situaciones entre matemáticas y música, ya consideradas como disciplinas. Por un lado, continuando en cierta forma con la tradición pitagórica, el músico establece en ocasiones un esquema matemático para la creación de sus composiciones sobrepasando el uso habitual dado a las matemáticas, por otro, el músico crea la obra de forma intuitiva utilizando cánones estéticos, carentes aparentemente de componente formal, y es el matemático el que busca a posteriori un nexo entre la obra y las matemáticas.

Leonardo Pisano es mejor conocido por su sobrenombre Fibonacci. nació en Italia pero fue educado en el norte de África donde su padre, Guilielmo, tuvo un puesto diplomático. El trabajo de su padre era representar a los comerciantes de la república de Pisa que operaban en Bugia, más tarde llamada Bougie y ahora llamada Bugía. Bugía es un puerto mediterráneo al noreste de Argelia. La ciudad se asienta en la desembocadura del Wadi Soummam cerca del Monte Gouraya y el Cabo Carbon. Fibonacci fue educado en matemáticas en Bugía y viajó mucho con su padre y reconoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usados en los países que visitó.

Fibonacci terminó sus viajes alrededor del año 1200 y en esa época regresó a Pisa. Allí escribió un número de importantes textos que jugaron un importante papel en el despertar de las antiguas habilidades matemáticas e hizo contribuciones significativas propias. Fibonacci vivió en los días anteriores a la imprenta, por lo que sus libros fueron manuscritos y la única forma de conseguir una copia de uno de ellos era tener hecha otra copia manuscrita. De sus libros aún tenemos copias del Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), y el Liber quadratorum. Dadas las relativamente pocas copias manuscritas que se habrían producido, somos afortunados de tener acceso a sus escritos en estas obras. Sin embargo, sabemos que escribió algunos otros textos, que , desafortunadamente, están perdidos. Su libro de aritmética comercial Di minor guisa se ha perdido al igual que su comentario sobre el Libro X de los Elementos de Euclides que contenía un tratamiento numérico de los números irracionales a los que Euclides se había aproximado desde un punto de vista geométrico.

Los números de Fibonacci son los que forman la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., en la que a partir del tercer término cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores. Esta sucesión tiene varias propiedades interesantes; por ejemplo, la sucesión formada por las razones entre cada número de Fibonacci y el anterior, 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5,..., tiene como límite la razón áurea (1.618...). Esta proporción se puede encontrar ampliamente tanto en el arte como en estructuras naturales.

Existen diferentes autores, como es el caso de Béla Bartók (1881-1945), que han utilizado dicha sucesión como patrón para determinar ciertos elementos de sus composiciones. Dicho autor desarrolló una escala musical basándose en la sucesión que denominó escala fibonacci. Así mismo, en su obra Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de su fuga muestra la aparición de la serie y de la razón áurea. Por otra parte, estudios realizados acerca de la Quinta sinfonía de Beethoven (1770-1827) muestran como el tema principal incluido a lo largo de la obra, está separado por un número de compases que pertenece a la sucesión. También en varias sonatas para piano de Mozart (1756-1791) la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.

Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado también en la coral situada al final de Kunst der Fuge de Johann Sebastian Bach (1685-1750). En ella determinados motivos se repiten, por disminución a escalas menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal. Este es un ejemplo de pieza musical autosemejante, que, como veremos más adelante, es una característica de la geometría fractal, un concepto matemático de finales del siglo XX. Existen trabajos que analizan la manifestación de estas características fractales en otras obras, como en el tercer movimiento de la sonata numero 15 de Beethoven y el triángulo de Sierpinski, o la analogía entre el conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven.

(transcrito parcialmene del artículo de Rafael Rios y Mario García)